Círculo de Cartago

Las paradojas (I parte) [Apuntes de clase]*

*Álvaro Carvajal Villaplana

1. La noción de paradoja

El significado etimológico del término paradoja es mara (para): contra y doxa (doxa): opinión, es decir, contra opinión, “más allá de la creencia” o antinomias lógicas. Entre sus características están las siguientes:

  • Las paradojas muestran que no todas las argumentaciones racionales nos dan una proposición conclusiva única, tal que pueda determinarse que sean válidas o inválidas.
  • Son proposiciones “conclusivas” son tales, que si afirmamos su verdad, la argumentación misma llevará a que se afirme su falsedad, cuando se llega a esta última, la argumentación misma conduce de nuevo a su verdad.
  • Es una argumentación circular que conduce a dos proposiciones que se contradicen, pero que a la vez se presentan como plausibles. Se caracterizan por dos métodos de razonar, los cuales son posibles, pero que conducen a conclusiones contradictorias.
  • Se llega a contradicción por razonamientos aparentemente válidos.
  • Las paradojas conducen a un circulo vicioso.
  • Las paradojas, especialmente las semánticas, llevan implícito el criterio de verdad y falsedad.

2. Clasificación de las paradojas

            Las paradojas se pueden clasificar en dos grandes grupos:  las semánticas y las de conjuntos. 

(a) Paradojas de la verdad: las pueden ser de distinto tipo, las cuales versan sobre la verdad. En general, éstas paradojas son proposiciones autorreferenciales y el tema por excelencia es un juego entre la verdad y la falsedad. El paradigma de paradoja es la del mentiroso, de la cual existen muchas variantes. Algunas de ellas son:

  • “Esta oración es falsa”: si es verdadera, entonces lo que se dice es el caso; por tanto, es falsa. Si es falsa, entonces lo que dice no es el caso; por tanto, es verdadera.
  • “La oración siguiente es falsa. La oración anterior es verdadera”.
  • La Paradoja de la tarjeta postal: (a) “La oración que hay en la otra cara de esta tarjeta es falsa”. (b) “La oración que hay en la otra cara de esta tarjeta es verdadera”
  • La paradoja de “Epiménides”: “Un cretense llamado Epiménides al que se le atribuye haber dicho que todos los cretenses son siempre mentirosos. Si un mentiroso es alguien que siempre dice lo falso, entonces, si lo que dice Epiménides es verdadero, es falso”
  • Otra paradoja es la Grelling, que tiene un juego de palabras, por ejemplo “heterológico” y “autólogico” (involucra verdadero y falso de…). Es una paradoja que versa sobre la detonación. Si dividimos todas las palabras y los enunciados en dos conjuntos, los que se denotan a así mismos (no verdaderos de sí mismas) y los que no se denotan así mismos (verdaderos de sí mismas). Los primeros serán autológicos (lo que la palabra significa en sí misma, por ej.  “corto” es corto y “castellano” es castellano) y los segundos serán heterológicos (las que no son en sí mismas lo que ellas significan, por ejemplo, “invisible” no es invisible, “alemán” no es alemán y “neurótico” no es neurótico).

La paradoja consistiría en lo siguiente: el adjetivo “heterológico” ¿es heterológico o autológico”?, si se dice que es heterológico; entonces, se denotará a sí mismo (no es verdadero de sí mismo). En consecuencia, será autológico. Si se dice que es autológico, no se denota a sí mismo (verdadero de sí mismo); por tanto, será heterológico (Haack, 1982p. 159). 

  • La paradoja de Berry, que involucra términos como “definible” o “espeficable”.

            (b) Paradojas de conjuntos: estas paradojas tienen que ver con la pertenencia o no a un conjunto. En general, se expresa como que algunos conjuntos son miembros de sí, mientras que otros no, por ejemplo:

  • El conjunto de los objetos abstractos, al ser él mismo un objeto abstracto, es miembro de sí mismo.
  • El conjunto de las vacas, al no ser el mismo una vaca, no es miembro de sí mismo.

            Una versión, un tanto más compleja de la anterior paradoja, se presenta cuando se dice:

  • El conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos ¿Es miembro de sí mismo o no?: (a) Si es miembro de sí mismo, entonces posee la propiedad que poseen todos los miembros del conjunto, es decir, no es miembro de sí mismo. (c) Si no es miembro de sí mismo; entonces, posee la propiedad que califica a un conjunto de pertenecer a sí mismo, por tanto, es miembro de sí mismo.

            Una variedad de paradojas fueron descubiertas por varios pensadores, entre ellos se pueden citar las paradojas de Russell, Cantor, Burali-Forti, Ramsey y Gödel (Prueba de completitud). Todas ellas han sido paradojas halladas en el campo de las matemáticas. Las paradojas han derribado teorías lógicas y matemáticas, y obligado a sus defensores a replantear o abandonar las teorías que defendían.

Bibliografía

Alston, W.P.; et. al; (1967/1976) Los orígenes de la filosofía analítica. Moore, Russell y Wittgenstein. Madrid: Tecnos.

Ferrater Mora, José; 1999. Diccionario de filosofía de bolsillo. Tomo 2. Madrid: Alianza.

Haack, Susan; (1978/1982) Filosofía de las lógicas. Madrid: Cátedra.

Kilmister, C. W., (1984/1992) Russell. México, D.F.: Fondo de Cultura Económica.

Russell, Bertrand; (1959/1982) La evolución de mi pensamiento filosófico. 2° ed. Madrid: Alianza Editorial.

Rodríguez, Rodolfo; (1996). El mundo de la lógica: de la paradoja de la verdad. San José: Imprenta de la Cuidad Hogar Calasanz.

Smullyan, Raymond; (1978/1984)  ¿Cómo se llama este libro? Madrid: Cátedra.

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